如图，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥BD交AB于E，作△BDE的外接圆⊙O．（1）求证：AC与⊙O相切；（2）若AD=6，AE=2，求⊙O的半径．

Question

如图，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥BD交AB于E，作△BDE的外接圆⊙O．

（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）若AD=6，AE=2，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OD，如图，
∵OD=OB，
∴∠1=∠2，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OD∥BC，
而∠C=90°，
∴OD⊥AD，
∴AC与⊙O相切；
（2）∵OD⊥AD，
∴在RT△OAD中，OA²=OD²+AD²，
又∵AD=6，AE=2，设半径为r，
∴（r+2）²=6²+r²，
解方程得，r=8，
即⊙O的半径为8．