（2014•舟山）如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y=12x2上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交x轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于

Question

（2014•舟山）如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y=(1)/(2)x²上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交x轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为m，△BED的面积为S．
（1）当m=√(2)时，求S的值．
（2）求S关于m（m≠2）的函数解析式．
（3）①若S=√(3)时，求(AF)/(BF)的值；
②当m＞2时，设(AF)/(BF)=k，猜想k与m的数量关系并证明．

Answer 1

（1）∵点A在二次函数y=(1)/(2)x²的图象上，AE⊥y轴于点E，且AE=m，
∴点A的坐标为（m，(1)/(2)m²），
当m=√(2)时，点A的坐标为（√(2)，1），
∵点B的坐标为（0，2），
∴BE=OE=1．
∵AE⊥y轴，
∴AE∥x轴，
∴△ABE∽△CBO，
∴(AE)/(CO)=(BE)/(BO)=(1)/(2)，
∴CO=2√(2)，
∵点D和点C关于y轴对称，
∴DO=CO=2√(2)，
∴S=(1)/(2)BE•DO=(1)/(2)×1×2√(2)=√(2)；

（2）（I）当0＜m＜2时（如图1），
∵点D和点C关于y轴对称，
∴△BOD≌△BOC，
∵△BEA∽△BOC，
∴△BEA∽△BOD，