设函数f（x）在[a，b]二阶可导，f′（a）=f′（b）=0．证明存在ξ∈（a，b），使|f″（ζ）|≥4(b−a)2|f（b）-f（a）|．

Question

设函数f（x）在[a，b]二阶可导，f′（a）=f′（b）=0．证明存在ξ∈（a，b），使|f″（ζ）|≥(4)/((b−a)2)|f（b）-f（a）|．

Answer 1

证：将f((a+b)/(2))在a，b展开为：
f((a+b)/(2))＝f(a)+f′(a)((b−a)/(2))+(f″(ξ1))/(2!)((b−a)/(2))2，a＜ξ1＜(a+b)/(2)
f((a+b)/(2))＝f(b)+f′(b)((a−b)/(2))+(f″(ξ2))/(2!)((b−a)/(2))2，(a+b)/(2)＜ξ2＜b
利用条件f′（a）=f′（b）=0，将以上两式相减：
|f(b)−f(a)|≤((b−a)2)/(8)[|f″(ξ1)|+|f″(ξ2)|]
设|f″（ξ）|=max{|f″（ξ₁）|，|f″（ξ₂）|}，则有：
|f(b)−f(a)|≤((b−a)2)/(4)|f″(ξ)|，
于是
|f″(ζ)|≥(4)/((b−a)2)|f(b)−f(a)|．