设函数f在(a.b)上可导,且f(a+)=f(b-)是有限的,求证:存在一点A在(a.b)上,使导数A等于0

Question

设函数f在(a.b)上可导,且f(a+)=f(b-)是有限的,求证:存在一点A在(a.b)上,使
导数A等于0

Answer 1

记f(a+)=f(b-)=M.
构造f(x)的延拓函数F(x),满足：
F(x)=M,x=a或b；
=f(x),x∈(a,b).
显然F(x)在闭区间[a,b]上连续,在(a,b)可导,且F'(x)=f'(x).
∵F(a)=F(b)；
∴由罗尔定理,存在一点A∈(a,b),使得F'(A)=0即f'(A)=0.#