已知曲线f（x）=log2(x+1)x+1（x＞0）上有一点列Pn（xn，yn）（n∈N*），点Pn在x轴上的射影是Qn（xn，0），且xn=2+1（n∈N*），x1=1．（1）求数列{xn}的通项公式；（2）设四边形PnQnQn+1Pn+1的面积是Sn，

Question

已知曲线f（x）=(log2(x+1))/(x+1)（x＞0）上有一点列P_n（x_n，y_n）（n∈N*），点P_n在x轴上的射影是Q_n（x_n，0），且x_n=2+1（n∈N*），x₁=1．
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）设四边形P_nQ_nQ_n+1P_n+1的面积是S_n，求证：(1)/(S1)+(1)/(2S2)+…+(1)/(nSn)＜4．

Answer 1

（1）由x_n=2x_n-1+1得x_n+1=2（x_n-1+1），∵x₁=1∴x_n+1≠0，
故{x_n+1}是公比为2的等比数列，∴x_n=2ⁿ-1．（6分）
（2）∵yn＝f(xn)＝(log2(2n−1+1))/(2n−1+1)＝(n)/(2n)，∴Q_nQ_n+1=2ⁿ，而P_nQ_n=(n)/(2n)，（9分）
∴四边形P_nQ_nQ_n+1P_n+1的面积为：Sn＝(3n+1)/(4)，∴(1)/(nSn)＝(4)/(n(3n+1))＝12((1)/(3n)−(1)/(3n+1))＜12((1)/(3n)−(1)/(3n+3))＝4((1)/(n)−(1)/(n+1))，
故(1)/(S1)+(1)/(2S2)+…+(1)/(nSn)＜4(1−(1)/(n+1))＜4．（14分）