对于函数f（x），若对于任意的a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知函数f（x）=1+t-1ex+1是“可构造三角形

Question

对于函数f（x），若对于任意的a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”，已知函数f（x）=1+ (t-1)/(ex+1)是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是___．

Answer 1

由题意可得f（a）+f（b）>f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，
由于f（x）=1+(t-1)/(ex+1)，
①当t-1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，
满足条件．
②当t-1>0，f（x）在R上是减函数，1<f（a）<1+t-1=t，
同理1<f（b）<t，1<f（c）<t，
由f（a）+f（b）>f（c），可得 2≥t，解得1<t≤2．
③当t-1<0，f（x）在R上是增函数，t<f（a）<1，
同理t<f（b）<1，t<f（c）<1，
由f（a）+f（b）>f（c），可得 2t≥1，解得1>t≥(1)/(2)．
综上可得，(1)/(2)≤t≤2，
故实数t的取值范围是[(1)/(2)，2]．
故答案为：[(1)/(2)，2]．