设α,β是关于方程x^2-2(k-1)x+k+1=0的两个实根,求y=α^2+β^2关于k的解析式,并求y的取值范围.

Question

设α,β是关于方程x^2-2(k-1)x+k+1=0的两个实根,求y=α^2+β^2关于k的解析式,并求y的取值范围.

Answer 1

a+b=2(k-1)
ab=k+1
y=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=4(k-1)^2-2(k+1)=4(k^2-2k+1)-2k-2=4k^2-10k+2
它是关于k的二次函数,开口向上,对称轴为k=5/4
另一方面,原方程有实根,表明4(k-1)^2-4(k+1)>=0,即k^2-3k>=0,得k>=3或k=2