已知函数f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，且f（0）•f（1）＞0，（1）求：-b3a的范围；（2）若x1，x2是方程f（x）=0的两实根，求|x1-x2|的取值范围．

Question

已知函数f（x）=3ax²+2bx+c，若a+b+c=0，且f（0）•f（1）＞0，
（1）求：-(b)/(3a)的范围；    
（2）若x₁，x₂是方程f（x）=0的两实根，求|x₁-x₂|的取值范围．

Answer 1

证明：（1）∵函数f（x）=3ax²+2bx+c，
∴f（0）•f（1）=c（3a+2b+c）＞0，
又a+b+c=0，则c=-（a+b），3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b，
∴-（a+b）（2a+b）＞0，即b²+3ab+2a²＜0，
∴（(b)/(a)）²+3×(b)/(a)+2＜0，解得-2＜(b)/(a)＜-1，
∴(1)/(3)＜-(b)/(3a)＜(2)/(3)，
故-(b)/(3a)的取值范围为(1)/(3)＜-(b)/(3a)＜(2)/(3)；
（2）∵x₁、x₂是方程f（x）=0的两个实根，
∴x₁+x₂=-(2b)/(3a)，x₁•x₂=(c)/(3a)=-(a+b)/(3a)，
∴|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（-(2b)/(3a)）²+4×（(a+b)/(3a)）=(4)/(9)（(b)/(a)）²+(4)/(3)×(b)/(a)+(4)/(3)，
上式是关于(b)/(a)的一个二次函数，对称轴为(b)/(a)=-(3)/(2)，
由（1）可得，-2＜(b)/(a)＜-1，
∴∴|x₁-x₂|²在（-2，-(3)/(2)]上单调递减，在[-(3)/(2)，-1）上单调递增，
∴|x₁-x₂|²∈[(1)/(3)，(4)/(9)），
∴|x₁-x₂|的取值范围的取值范围为[(√(3))/(3)，(2)/(3)）．