设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,如果f(x)=0在[a,b]上有n个不同的实根,证明f'(x)=0在(a,b)内至少有n-1个不同的实根

Question

设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,如果f(x)=0在[a,b]上有n个不同的实根,证明f'(x)=0在(a,b)内至少有n-1个不同的实根

Answer 1

设f(x)=0在[a,b]上的n个不同的实根安从小到大的顺序是x1,x2,...,xn.
由f(x)在[x1,x2]上是连续的,在(x1,x2)内是可导的,且f(x1)=f(x2)=0,则由罗尔定理,在(x1,x2)存在a1,使得f'(a1)=0.
同理可证(x2,x3),...,(x(n-1),xn)内f'(x)都至少有一个实根.而这些区间是两两不相交的,所以f"(x)在(a.b)内至少有n-1个实根.