已知不等式2x-1>m(x^2-1)若对于实数x不等式恒成立,求m的取值范围,若对于m属于[-2,2]不等式恒成立,求实数x的取值范围

Question

已知不等式2x-1>m(x^2-1)
若对于实数x不等式恒成立,求m的取值范围,若对于m属于[-2,2]不等式恒成立,求实数x的取值范围

Answer 1

（一）若对于实数x不等式恒成立,求m的取值范围：
2x-1>m(x^2-1)
当x=-1时,-2-1＞m(1-1),-3＞0不成立
所以不存在实数m使对于实数x不等式恒成立
即m∈空集
（二）若对于m属于[-2,2]不等式恒成立,求实数x的取值范围：
2x-1>m(x^2-1)
首先,x=1时,2-1＞0恒成立；x=-1时,-2-1＞0恒不成立
如果x＜-1,或x＞1,则(2x-1)/(x^2-1)＞m,
m∈[-2,2],
∴(2x-1)/(x^2-1)＞2,x-1/2＞x^2-1
x^2-x＜1/2
(x-1/2)^2＜3/4
-√3/2＜x-1/2＜√3/2
(1-√3)/2＜x＜(1+√3)/2
根据x＜-1,或x＞1解得：1＜x＜(1+√3)/2）
如果-1＜x＜1,则(2x-1)/(x^2-1)＜m,
m∈[-2,2],
∴(2x-1)/(x^2-1)＜-2,x-1/2＞-x^2+1
x^2+x＞3/2
(x+1/2)^2＞7/4
x+1/2＜-√7/2,或x+1/2＞√7/2
x＜-(√7+1)/2,或x＞(√7-1)/2
根据-1＜x＜1解得：(√7-1)/2＜x＜1
综上,(√7-1)/2＜x＜(1+√3)/2