设f（x）=（1+x）m+（1+x）n展开式中x的系数是19，（m、n∈N*）（1）求f（x）展开式中x2的系数的最小值．（2）对f（x）展开式中x2的系数取得最小值时的m、n，求f（x）展开式中x7的系数．

Question

设f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ展开式中x的系数是19，（m、n∈N^*）
（1）求f（x）展开式中x²的系数的最小值．
（2）对f（x）展开式中x²的系数取得最小值时的m、n，求f（x）展开式中x⁷的系数．

Answer 1

（1）f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ展开式中x的系数是19，
则m+n=19，即m=19-n
x²的系数为C_m²+C_n²=C_19-n²+C_n²
=(1)/(2)(19−n)(18−n)+(1)/(2)n(n−1)
=(n−(19)/(2))2+(323)/(4)
n∈N^*，当n=9或10，x²的系数最小值是81．…（10分）
（2）当n=9，m=10或n=10，m=9时，x⁷的系数C₁₀⁷+C₉⁷=156…（14分）