已知菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°（如图1所示），将菱形ABCD沿对角线BD翻折，使点C翻折到点C1的位置（如图2所示），点E，F，M分别是AB，DC1，BC1的中点．（Ⅰ）证明：BD∥平面EMF；（Ⅱ）证明：

Question

已知菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°（如图1所示），将菱形ABCD沿对角线BD翻折，使点C翻折到点C₁的位置（如图2所示），点E，F，M分别是AB，DC₁，BC₁的中点．

（Ⅰ）证明：BD∥平面EMF；
（Ⅱ）证明：AC₁⊥BD；
（Ⅲ）当EF⊥AB时，求线段AC₁的长．

Answer 1

（Ⅰ）∵点F，M分别是C₁D，C₁B的中点，
∴△BC₁D中，FM是中位线，可得FM∥BD．                 …（2分）
又∵FM⊂平面EMF，BD⊄平面EMF，
∴BD∥平面EMF．           …（4分）
（Ⅱ）在菱形ABCD中，设O为AC，BD的交点，则AC⊥BD．    …（5分）
连接AO，C₁O
∴在三棱锥C₁-ABD中，C₁O⊥BD，AO⊥BD．
又 C₁O∩AO=O，
∴BD⊥平面AOC₁．           …（7分）
又∵AC₁⊂平面AOC₁，
∴BD⊥AC₁．                 …（9分）
（Ⅲ）连接DE，C₁E．在菱形ABCD中，DA=AB，∠BAD=60°，
所以△ABD是等边三角形，得DA=DB．                …（10分）
∵E为AB中点，∴DE⊥AB．
又∵EF⊥AB，EF∩DE=E．
∴AB⊥平面DEF，即AB⊥平面DEC₁．…（12分）
又∵C₁E⊂平面DEC₁，∴AB⊥C₁E．
∵AE=EB，BC₁=AB=4，
∴AC₁=BC₁=4．             …（14分）