已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是b（b≥43a）元/件时，可卖出c件．市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%，现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利利

Question

已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是b（b≥(4)/(3)a）元/件时，可卖出c件．市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%，现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利利润．

Answer 1

设销售价为x元/件，它比售价b元下降了10y%，
从而x=b（1-10y%），故10y%=(b−x)/(b)．
由题意此时可卖出m件，则m=c（1+40y%）=c+4c(b−x)/(b)，
从而利润L（x）=（x-a）（ c+4c(b−x)/(b)）=c（x-a）（5-(4)/(b)x），a＜x＜(5b)/(4)．
令L′（x）=-(8c)/(b)x+(4ac+5bc)/(b)=0，解得x=(4a+5b)/(8)
当x∈（a，(4a+5b)/(8)）时，L′（x）＞0；当x∈（(4a+5b)/(8)，(5b)/(4)）时，L′（x）＜0．
因此x=(4a+5b)/(8)是函数L（x）的极大值点，也是最大值点．
所以，销售价为(4a+5b)/(8)元/件时，可获得最大利润．
答：销售价为(4a+5b)/(8)元/件时，可获得最大利润．