已知函数f(x)＝log3(ax2+2x+3)，a∈R．（1）若f（x）的定义域为R，求a的范围；（2）若f（x）的值域为R，求a的范围．

Question

已知函数f(x)＝log3(ax2+2x+3)，a∈R．
（1）若f（x）的定义域为R，求a的范围； 
（2）若f（x）的值域为R，求a的范围．

Answer 1

（1）由f（x）的定义域为R，可得ax²+2x+3＞0恒成立．
若a=0时，2x+3＞0，x＞−(3)/(2)，不合题意，所以a≠0．
由

a＞0

△＝22−4•a•3＜0

得：a＞(1)/(3)，即a的范围为（(1)/(3)，+∞）．
（2）由f（x）的值域为R，则y=ax²+2x+3能取遍所有的正数．
①若a=0时，y=2x+3可以取遍一切正数，符合题意．
②若a≠0时，需

a＞0

△＝22−4•a•3≥0

，即0＜a≤(1)/(3)．
综上，实数a的取值范围为[0，(1)/(3)]．