这些公式哪来的呀sin(x+y)=sinxcosy+cosxsinycos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny我需要推导过程,不能用tan(x+y)的公式来推请你们用最基础的来帮我推出来

Question

这些公式哪来的呀
sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny
cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny
我需要推导过程,不能用tan(x+y)的公式来推
请你们用最基础的来帮我推出来

Answer 1

首先建立直角坐标系,在直角坐标系xOy中作单位圆O,并作出角a,b,与-b,使角a的开边为Ox,交圆O于点P1,终边交圆O于点P2,角b的始边为OP2,终边交圆O于点P3,角-b的始边为OP1,终边交圆O于点P4.这时P1,P2,P3,P4的坐标分别为：
P1（1,0）
P2(cosa,sina)
P3(cos(a+b),sin(a+b))
P4(cos(-b),sin(-b))
由P1P3=P2P4及两点间距离公式得：
^2表示平方
[cos(a+b)-1]^2+sin^2(a+b)
=[cos(-b)-cosa]^2+[sin(-b)-sina]^2
展开整理得
2-2cos(a+b)
=2-2(cosacosb-sinasinb)
所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
根据诱导公式sin(pi/2-a)=cosa (pi圆周率)
得sin(a+b)=cos[pi/2-(a+b)]
=sinacosb+cosasinb
cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny 根据sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny 和sin^2x+cos^2x=1可得