设函数f（x）＝√x^2＋1－ax,（a＞0）,试确定：当a取何值时,函数f（x）在（0,＋∞）上为单调函数

Question

设函数f（x）＝√x^2＋1－ax,（a＞0）,试确定：当a取何值时,函数f（x）在（0,＋∞）上为单调函数

Answer 1

任取x1,x2∈[0,1),且x1>x2
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[(x1+x2)/(√(x1^2+1)+√(x2^2+1))]
∵x1≤|x1|=√(x1^2)x2 ∴(x1+x2)/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]<1
当a≥1时 f(x1)-f(x2)<0 此时f(x)在[0,∞)上为减函数
若0x2>a/√(1-a^2)时 (x1+x2)/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]>a
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1>f(x2) ∴f(x)在([a/√(1-a^2)],+∞)上单调递增
当0a
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1∴0综上,a的取值范围是[1,+∞)