证明四面体每一个顶点与对面重心所连线段共点且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍.

Question

证明四面体每一个顶点与对面重心所连线段共点且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍.

Answer 1

设四个定点的坐标向量是 A,B,C,D,
面ABC的重心是M = (A+B+C)/3,这点和D的连线所在直线参数方程为：
D + t( M-D) = t M + (1-t) D,t为实参数.
令t = 3/4,得到这直线上一点 N = 3M/4 + D/4 = (A+B+C+D)/4
同样可以验证这点 N 在另外3条直线上,所以这四条直线共点,交点为 N.
距离的关系由上面 t 参数的取值即可以得出.