证明四面体每一个顶点与对面重心所连线段共点且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍.用向量法证明.主要是证明线段共点.

Question

证明四面体每一个顶点与对面重心所连线段共点且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍.
用向量法证明.主要是证明线段共点.

Answer 1

设四面体为PABC.
取BC的中点D, 连接PD,AD, 在PD上取E为三角形PBC的重心. 在AD上取F为三角形ABC的重心.
再连接PF,AE.则PF,AE分别是顶点A,P 到对面重心的线段. 因为它们在同一平面PAD,故它们相交.记其交点为G. 在三角形PAD中,
DE/DP=DF/DA= 1/3 (重心在中线上,到顶点距离为中线长的2/3).连接EF,
由定理知:EF//AP. 且可推出三角形EFD相似于三角形PAD, 从而推出EF= (1/3)AP.
  再由三角形EFG相似于三角形APG, 推出FG=(1/3)PG. 或PG=3*FG.
                                                        同理:AG= 3*GE
即任意两个顶点到对面重心的线段共点,且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍.
由于每一线段上的到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍的分点是唯一的,故此命题得到证明..