已知斜率2的直线被双曲线x^2/3-y^2/2=1所得弦长4,求直线方程

Question

已知斜率2的直线被双曲线x^2/3-y^2/2=1所得弦长4,求直线方程

Answer 1

依题意设直线方程为y=2x+m
代入到x^2/3-y^2/2=1
得：x^2/3-(2x+m)^2/2=1
即2x^2-3(4x^2+4mx+m^2)-6=0
整理得：10x^2+12mx+3m^2+6=0
Δ=144m^2-40(3m^2+6)
=24m^2-240>0
m^2>10
设弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)
那么x1+x2=-6m/5,x1x2=(3m^2+6)/10
根据弦长公式
|AB|=√5*√[(x1+x2)^2-4x1x2]=4
∴5[36m^2/25-4(3m^2+6)/10]=16
==>
36m^2-10(3m^2+6)]=180
m^2=40符合Δ>0
==>m=±2√10
∴直线方程为y=2x±2√10