已知抛物线y=-34x2-x+m与x轴有两个不同的交点A、B，抛物线的顶点为C．求是否存在实数m，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Question

已知抛物线y=-(3)/(4)x²-x+m与x轴有两个不同的交点A、B，抛物线的顶点为C．求是否存在实数m，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

设A、B的坐标为（x₁，0），（x₂，0），
由-(3)/(4)x²-x+m=0，有x₁+x₂=-(4)/(3)，x₁•x₂=-(4)/(3)m，
∴|AB|=|x₁-x₂|=√((x1+x2)2-4x1x2)=√((16)/(9)+(16m)/(3))=(4)/(3)√(1+3m)，
又∵-(b)/(2a)=-(-1)/(2×(-(3)/(4)))=-(2)/(3)，(4ac-b2)/(4a)=(3m+1)/(3)，
∴顶点C的坐标为（-(2)/(3)，(3m+1)/(3)），
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴|(3m+1)/(3)|=(1)/(2)|AB|=(2)/(3)√(3m+1)，
∴m=1．