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A是n阶矩阵，且A≠0．证明：存在一个n阶非零矩阵B，使AB=0的充分必要条件是|A|=0．
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A是n阶矩阵，且A≠0．证明：存在一个n阶非零矩阵B，使AB=0的充分必要条件是|A|=0．
▼优质解答
答案和解析
证明：
“必要性”（⇒）
（反证法）
反设|A|≠0，则：A-1存在．
所以当AB=0时，二边右乘A-1得：B=0，与存在一个n阶非零矩阵B，使AB=0矛盾．
所以|A|=0．
“充分性”（⇐）
设|A|=0，则方程组Ax=0有非零x=（b1，b2，…bn）．
构造矩阵：B＝
则B≠0，且AB=0．
证毕．
“必要性”（⇒）
（反证法）
反设|A|≠0，则：A-1存在．
所以当AB=0时，二边右乘A-1得：B=0，与存在一个n阶非零矩阵B，使AB=0矛盾．
所以|A|=0．
“充分性”（⇐）
设|A|=0，则方程组Ax=0有非零x=（b1，b2，…bn）．
构造矩阵：B＝
|
则B≠0，且AB=0．
证毕．
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