几道轨迹方程的数学题1.三角形ABC的顶点B,C坐标分别是（0,0）（4,0）AB边上的中线长为3,求定点A的轨迹方程.2点M到点A（4,0）与点B（-4,0）的距离之和为12,求点M的轨迹方程.已知点M与X轴的距离

Question

几道轨迹方程的数学题
1.三角形ABC的顶点B,C坐标分别是（0,0）（4,0）AB边上的中线长为3,求定点A的轨迹方程.
2点M到点A（4,0）与点B（-4,0）的距离之和为12,求点M的轨迹方程.
已知点M与X轴的距离和点M与点F（0,4）的距离相等,求点M的轨迹方程.
4.无论M取任何实数,方程（3m+4)x+(5-2m)y+7m-6=0所表示的曲线必经过一个顶点,求出这一定点的坐标.

Answer 1

都很简单
1.设AB边上的中线为CD,则CD=3,其中D为中点,点A(x,y)
根据三角形中线和边的一个关系公式(我提示你用余弦定理来证明)
AC²+BC²=2(CD²+AD²) (*)
已知CD=3,B(0,0) C(4,0),从而BC=4
AC²=(x-4)²+y²
AD²=AB²/4=(x²+y²)/4
上面的结论代入(*)整理得到A的轨迹方程
(x-8)²+y²=36,这里要求y不等于0,否则不能构成三角形
2.已知点M到点A(4,0)与点B(-4,0)的距离之和为12
这里其实就是判断离心率的一个过程,离心率小于1,M的轨迹是个椭圆
a=6,c=4
b²=a²-c²=20
所以M的轨迹方程 x²/36+y²/20=1
3.设M(x,y)
根据题意 y²=x²+(y-4)²
化简得到 16(y-1)=x²
4.已知无论M取什么值,方程(3m+4)x+(5-2m)y+7m-6=0必过一点
不知道你是否了解直线系的内容,我假设你已经知道
上述方程改写成
m(3x-2y+7)+(4x+5y-6)=0
可以发现直线
3x-2y+7=0,4x+5y-6=0是相交的
交点是(-1,2)同时满足两直线,从而满足上述方程
这个定点就是所求,即(-1,2)就是方程的定点.