已知函数f（x）=x2-2ln|x|与g（x）=sin（x+ψ）（ω＞0）有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的g（x）等于（）A．sin（2πx-π2）B．sin（πx2-π2）C．sin（πx-π2）D．sin（πx+π2）

Question

已知函数f（x）=x²-2ln|x|与g（x）=sin（x+ψ）（ω＞0）有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的g（x）等于（　　）

A．sin（2πx-(π)/(2)）
B．sin（(πx)/(2)-(π)/(2)）
C．sin（πx-(π)/(2)）
D．sin（πx+(π)/(2)）

Answer 1

f（x）定义域为x≠0
①当x＞0时：f（x）=x²-2ln|x|=x²-2lnx，f'（x）=2x-(2)/(x)，
令f'（x）=0，解得x=1，
由f'（x）＜0，则0＜x＜1，
由f'（x）＞0，则x＞1，
则当x=1时，f（x）取的最小值，最小值为f（1）=1．
②当x＜0时：f（x）=x²-2ln|x|=x²+2lnx，
则f'（x）=2x+(2)/(x)，
令f'（x）=0，解得x=-1，
由f'（x）＜0，则x＜-1，
由f'（x）＞0，则-1＜x＜0，
则当x=-1时，函数f（x）取最小值，最小值为f（-1）=1．
综合①②所述：f（x）的最小值为f（-1）=f（1）=1
∵只有2个公共点，
∴g（x）最大值为1
则最长周期为|（-1）-1|=2，即T＝(2π)/(ω)＝2，即ω=π
则g（1）=sin（π+A）=1，
即π+A=2kπ+(π)/(2)，即A=2kπ-(π)/(2)，k∈Z
则周期最大的g（x）=sin（πx+2kπ-(π)/(2)）=sin（πx-(π)/(2)），k∈Z，
故选：C．