已知函数g（x）=x-1，函数f（x）满足f（x+1）=-2f（x）-1，当x∈（0，1]时，f（x）=x2-x，对于∀x1∈（1，2]，∀x2∈R，则（x1-x2）2+（f（x1）-g（x2））2的最小值为（）A.12B.49128C.81128D.12512

Question

已知函数g（x）=x-1，函数f（x）满足f（x+1）=-2f（x）-1，当x∈（0，1]时，f（x）=x²-x，对于∀x₁∈（1，2]，∀x₂∈R，则（x₁-x₂）²+（f（x₁）-g（x₂））²的最小值为（　　）

A.

(1)/(2)

B.

(49)/(128)

C.

(81)/(128)

D.

(125)/(128)

Answer 1

函数f（x）满足f（x+1）=-2f（x）-1，当x∈（0，1]时，f（x）=x²-x，
∀x₁∈（1，2]，x₁-1∈[0，1]，则f（x₁）=-2f（x₁-1）-1=-2[(x1-1)2-(x1-1)]-1=-2

x

2 1

+6x₁-5．
设直线y=x+m与抛物线y=-2x²+6x-5相切，化为2x²-5x+5+m=0，令△=25-8（5+m）=0，解得m=-(15)/(8)．
∴两条平行线y=x-1与y=x-(15)/(8)的距离d=(|-1+(15)/(8)|)/(√(2))=(7)/(8√(2))．
∴（x₁-x₂）²+（f（x₁）-g（x₂））²的最小值为(49)/(128)．