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设定数A,B,C使得不等式A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0对一切实数x,y,z都成立,问A,B,C应满足怎样的条件?(要求写出充分必要条件,而且限定用只涉及A,B,C的等式
题目详情
设定数A,B,C使得不等式A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0对一切实数x,y,z都成立,问A,B,C应满足怎样的条件?(要求写出充分必要条件,而且限定用只涉及A,B,C的等式或不等式表示条件)
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答案和解析
A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0对任何x,y,z都成立,
令y=z,A(x-y)2≥0,A≥0,同理:B≥0,C≥0,
A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)
=A(x2-xy-xz+yz)-B(x-y)(y-z)+C(z2-xz-yz+xy)
=A(x2-2xy+y2)+A(xy-y2-xz+yz)-B(x-y)(y-z)+C(y2-2yz+z2)+C(yz-y2-xz+xy)
=A(x-y)2+A(x-y)(y-z)-B(x-y)(y-z)+C(y-z)2+C(x-y)(y-z)
=A(x-y)2+(A-B+C)(x-y)(y-z)+C(y-z)2≥0
上式为(x-y),(y-z)的二次齐次式,A≥0,值为非负的充要条件:
△=(A-B+C)2-4AC=0,C≥0.
令y=z,A(x-y)2≥0,A≥0,同理:B≥0,C≥0,
A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)
=A(x2-xy-xz+yz)-B(x-y)(y-z)+C(z2-xz-yz+xy)
=A(x2-2xy+y2)+A(xy-y2-xz+yz)-B(x-y)(y-z)+C(y2-2yz+z2)+C(yz-y2-xz+xy)
=A(x-y)2+A(x-y)(y-z)-B(x-y)(y-z)+C(y-z)2+C(x-y)(y-z)
=A(x-y)2+(A-B+C)(x-y)(y-z)+C(y-z)2≥0
上式为(x-y),(y-z)的二次齐次式,A≥0,值为非负的充要条件:
△=(A-B+C)2-4AC=0,C≥0.
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