设L是平面区域Ω的边界曲线，L光滑．u（x，y）在.Ω上二阶连续可微，用格林公式证明：∬Ω（∂2u∂x2+∂2u∂y2）dxdy=∮L∂u∂nds．其中n是L上的单位外法向量，∂u∂n是u沿n方向的方向导数．

Question

设L是平面区域Ω的边界曲线，L光滑．u（x，y）在

.

Ω

上二阶连续可微，用格林公式证明：

∬

Ω

（(∂2u)/(∂x2)+(∂2u)/(∂y2)）dxdy=

∮

L

(∂u)/(∂n)ds．其中n是L上的单位外法向量，(∂u)/(∂n)是u沿n方向的方向导数．

Answer 1

证明：由于(∂u)/(∂n)=(∂u)/(∂x)cos(n，x)+(∂u)/(∂y)cos(n，y)，因而

∮

L

(∂u)/(∂n)ds=

∮

L

((∂u)/(∂x)cos(n，x)+(∂u)/(∂y)cos(n，y))ds=

∮

L

(∂u)/(∂x)dx+(∂u)/(∂y)dy
∴由格林公式，得

∮

L

(∂u)/(∂n)ds=

∬

Ω

((∂2u)/(∂x2)+(∂2u)/(∂y2))dxdy．