关于抛物线和圆（初中）有一抛物线,y=x^2+2mx-n^2过点（1,1）他与坐标轴有三个交点,这三个交点可构成一圆,随着mn的变化,有的位置在变.证明：圆经过定点.并求定点的坐标.

Question

关于抛物线和圆（初中）
有一抛物线,y=x^2+2mx-n^2过点（1,1）
他与坐标轴有三个交点,这三个交点可构成一圆,随着mn的变化,有的位置在变.证明：圆经过定点.并求定点的坐标.

Answer 1

抛物线过（1,1）,所以有：1=1^2+2m-n^2,即n^2=2m;
抛物线方程可化为y=x^2+2mx-2m.
与坐标轴有三个交点,则与y轴交于(0,-2m),
与x轴交于(x1,0),(x2,0),且有：
x1+x2=-2m
x1*x2=-2m
三个交点构成一圆,设圆方程为x^2+y^2+Ax+By+C=0
则有：
4m^2-2mB+C=0 ①
x1^2+Ax1+C=0 ②
x2^2+Ax2+C=0 ③
②-③得
(x1+x2)(x1-x2)+A(x1-x2)=0
x1-x2≠0,故x1+x2+A=0,即A=-(x1+x2)=2m
②+③得
x1^2+x2^2+A(x1+x2)+2C=0,得
C=-2m
由①得
B=2m-1
所以圆方程为x^2+y^2+2mx+(2m-1)y-2m=0,2m(x+y-1)+x^2+y^2-y=0
所以圆经过由
x+y-1=0 ④
x^2+y^2-y=0 ⑤
组成的方程组所得解的点
即点(0,1),(1/2,1/2)