已知：直线y=-2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点C为x轴上一点，AC=1，且OC＜OA．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A、B、C．（1）求该抛物线的表达式；（2）点D的坐标为（-3，0），点P为线段AB

Question

已知：直线y=-2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点C为x轴上一点，AC=1，且OC＜OA．抛物线y=ax ² +bx+c（a≠0）经过点A、B、C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点D的坐标为（-3，0），点P为线段AB上的一点，当锐角∠PDO的正切值是 (1)/(2) 时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，该抛物线上的一点E在x轴下方，当△ADE的面积等与四边形APCE的面积时，求点E的坐标．

Answer 1

（1）令y=0，则-2x+4=0，
解得x=2，
令x=0，则y=4，
所以，点A（2，0），B（0，4），
∵AC=1，且OC＜OA，
∴点C的坐标为（1，0），
∵抛物线y=ax ² +bx+c（a≠0）经过点A、B、C，
∴

4a+2b+c=0

c=4

a+b+c=0

，
解得

a=2

b=-6

c=4

，
∴该抛物线的表达式为y=2x ² -6x+4；

（2）∵D的坐标为（-3，0），
∴OD=3，
设PD与y轴的交点为F，
∵∠PDO的正切值是 (1)/(2) ，
∴OF= (1)/(2) •OD= (1)/(2) ×3= (3)/(2) ，
∴点F的坐标为（0， (3)/(2) ），
设直线PD的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），
则

-3k+b=0

b=(3)/(2)

，
解得

k=(1)/(2)

b=(3)/(2)

，
所以，直线PD的解析式为y= (1)/(2) x+ (3)/(2) ，
联立

y=(1)/(2) x+(3)/(2)

y=-2x+4

，
解得

x=1

y=2

，
∴点P的坐标为（1，2）；

（3）设点E到x轴的距离为h，
∵A（2，0），C（1，0），D（-3，0），
∴AC=1，AD=2-（-3）=5，
∵△ADE的面积等于四边形APCE的面积，
∴ (1)/(2) ×5h= (1)/(2) ×1h+ (1)/(2) ×1×2，
解得h= (1)/(2) ，
∵点E在x轴的下方，
∴点E的纵坐标为- (1)/(2) ，
∴2x ² -6x+4=- (1)/(2) ，
整理得，4x ² -12x+9=0，
解得x= (3)/(2) ，
∴点E的坐标为（ (3)/(2) ，- (1)/(2) ）．