1、正整数m与n一奇一偶,证明(x^m+1,x^n+1)=12、证明：(x^m+1,x^n+1)=x+1,其中m与n互素且都是正奇数.

Question

1、正整数m与n一奇一偶,证明(x^m+1,x^n+1)=1
2、证明：(x^m+1,x^n+1)=x+1,其中m与n互素且都是正奇数.

Answer 1

设(m,n)=w m=uw n=vw则 =(a^wu-1,a^wv+1)
设b=a^w =(b^u-1,b^v+1)
=(b+(-1)^x,(-1)^y +(-1)^z)
\x100\x100\x100\x100\x100\x100\x100\x100\x100\x100\x100\x100\x100\x100=b+(-1)^x或者1（注意b是偶数）
下面分析b+(-1)^x>1（注意是奇数,最小是3）时,\x100b+(-1)^x不可能是公约数.
如果x是奇数,则a^n+1 =b^v+1=k*(b-1)+2\x100显然公约数不是b-1,所以只能是1.
如果x是偶数,则a^m-1=b^u-1=k(b+1)+(-1)^u-1=k(b+1)-2\x100\x100注意u是奇数
显然公约数不是b+1,所以只能是1
因此公约数最终只可能是1,\x100.互素.
延伸一下,如果想得到公约数b+(-1)^x\x100>2
a^m-(-1)^A=k(b+(-1)^x)+[-(-1)^x]^u-(-1)^A＝k(b+(-1)^x) +(-1)^u^(x+1) -(-1)^A]
a^n-(-1)^B=k(b+(-1)^x)+[-(-1)^x]^v-(-1)^B＝k(b+(-1)^x) +(-1)^v^(x+1) -(-1)^B]
u是偶数,A=u
u是奇数,A与x+1同奇偶 x是偶数,则A是奇数＝u;\x100x是奇数,A是偶数,(b-1)|b^u-1
x是偶数则A＝u=m/(m,n),B＝v=n/(m,n)即可
x是奇数则A＝B＝2即可
综合起来即：（a^m-1,a^n-1)=a^(m,n) -1
\x100\x100\x100\x100(a^m-(-1)^[m/(m,n)],b^n-(-1)^[n/(m,n)]=a^(m,n) +1
\x100\x100\x100\x100\x100其它情况(a^m+(-1)^x,a^n+(-1)^y) =：a是偶数,则＝1；a是奇数,则＝2