我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A=70°，∠B=80°．求∠C、∠D的度数．（2）如图1，在Rt△AC

Question

我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”．
（1）已知：四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A=70°，∠B=80°．求∠C、∠D的度数．
（2）如图1，在Rt△ACB中，∠C=90°，CD为斜边AB边上的中线，过点D作DE⊥CD交AC于点E，求证：四边形BCED是“等对角四边形”．
（3）如图2，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，CD平分∠ACB，点E在AC上，且四边形CBDE为“等对角四边形”，则线段AE的长为___．

Answer 1

（1） ①若∠A=∠C，∠B≠∠D，
则∠C=70°，∠D=360°-70°-70°-80°=140°；
②若∠B=∠D，∠A≠∠C，
则∠D=80°，∠C=360°-80°-80°-70°=130°；

（2）证明：如图1，在Rt△ABC中，
∵CD为斜边AB边上的中线，
∴AD=DB=DC，
∴∠DCB=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠ACD=90°，
∴∠B+∠ACD=90°．
∵DE⊥CD，
∴∠CED+∠ACD=90°，
∴∠CED=∠B，
且∠ECB≠∠EDB，
∴四边形BCED是“等对角四边形”；

（3） ①若∠B=∠DEC，∠BCE≠∠BDE，如图2．
在△CDE与△CDB中，

∠DEC=∠B

∠DCE=∠DCB

CD=CD

，
∴△CDE≌△CDB，
∴EC=BC=3，
∴AE=AC-EC=4-3=1；
②若∠BCE=∠BDE=90°，∠B≠∠DEC，如图3．
∵在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=√(AC2+BC2)=√(42+32)=5，
∵CD平分∠ACB，
∴(AD)/(BD)=(AC)/(BC)=(4)/(3)，
∴AD=(4)/(7)AB=(20)/(7)．
在△ADE与△ACB中，

∠A=∠A

∠ADE=∠ACB=90°

，
∴△ADE∽△ACB，
∴(AE)/(AB)=(AD)/(AC)，即(AE)/(5)=((20)/(7))/(4)，
∴AE=(25)/(7)．
综上所述，线段AE的长为1或

作业搜用户 2017-04-19

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