单位正方形内随机三角形是钝角三角形的概率为多少拜托各位了3Q在单位正方形内,随机取三点,构成三角形是钝角三角形的概率为多少?@倪举鹏里的一个帖子.特单独拿出来,看能不能讨论出

Question

单位正方形内随机三角形是钝角三角形的概率为多少拜托各位了 3Q
在单位正方形内,随机取三点,构成三角形是钝角三角形的概率为多少?@倪举鹏 里的一个帖子.特 单独拿出来,看能不能讨论出一个满意的结果..

Answer 1

这个问题可以这样考虑首先在单位正方形中随机选择两个点A,B,那么我们可以先分别过A,B做线段AB的垂线,然后再做以AB为直径的圆.显然,只有第三个点C在两条垂线外部或者圆内时（当然同时要在正方形内部）,三角形是钝角三角形.所以我们需要分别计算两条垂线外部的面积和圆在单位正方形内部的面积,然后再对随即点A,B积分即可.为此,我们可以将两部分积分分开计算,然后累加.其中圆部分的积分更加复杂些,下面将只讨论这部分.设A(x1,y1),B(x2,y2),于是假设在得到圆在正方形内部面积S(x1,y1,x2,y2)后,我们需要对这个面积求四重积分.为此,我们先求出圆的圆心P(x3=(x1+x2)/2,y3=(y1+y2)/2),它显然也在单位正方形内部,然后我们可以简单的做积分变换,变成对x1,x3,y1,y3做积分.此后我们只要考虑P,A之间的关系就可以了,其中P分布在单位正方形内部.对于每个P,我们现在要考虑A的可能分布,为此我们可以先找到离P最近的边L1,次近的边L2.然后做L1关于P的堆成直线L1',L2关于P对称直线L2',于是显然A只能在L1,L1',L2,L2'围成的矩形内部,我们称此矩形为P生成的矩形.现在以P为圆心,任意一个直径小于P生成矩形对角线的圆,那么圆在P生成矩形内部的点都可以作为A的候选点,而这个A的候选点对应的圆都正好是这个圆.所以这个圆的权重正好是圆周在P生成矩形内部的长度.所以如果我们能够对所有的这些圆(直径从0到P生成矩形对角型长),计算出在生成矩形内部的圆周长,乘上单位正方形内部的圆周面积,然后将乘积关于直径积分,在关于P积分,即可求出结果,这是一个三重积分.为了计算这个三重积分里面乘积的公式,我们需要对圆直径长度进行分类,分别根据直径长度和P生成矩阵短边,长边距离先分成三类,不同部分圆周落于生成矩阵内部公式不同.而对于最后一类,还要根据圆半径是否大于P到另外两边的距离有不同的面积公式,所以最多分五类.最后还要计算这个三重积分.查看原帖>>