如图所示是一个几何体的直观图及它的三视图(其中主视图为直角梯形，俯视图为正方形，左视图为直角三角形，尺寸如图所示)．(Ⅰ)求四棱锥P-ABCD的体积；(Ⅱ)若G为BC的中点，求证：AE⊥PG．

Question

如图所示是一个几何体的直观图及它的三视图(其中主视图为直角梯形，俯视图为正方形，左视图为直角三角形，尺寸如图所示)．

(Ⅰ)求四棱锥P-ABCD的体积；
(Ⅱ)若G为BC的中点，求证：AE⊥PG．____

Answer 1

【分析】(I)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，求出棱锥的高PA的长，及底面面积，代入棱锥的体积公式即可得到答案．
(II)连BP，由已知中==，∠EBA与∠BAP均为直角，我们可以得到∴ΔEBA∽ΔBAP，然后根据三角形性质，对应角相等，得到PB⊥AE，结合BC⊥AE，及线面垂直的判定定理，得到AE⊥面PBG，再由线面垂直的性质定理，即可得到答案．

(Ⅰ)证明：由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，(2分)
PA⊥面ABCD，PA∥EB，且PA=4，BE=2，AB=AD=CD=CB=4，(4分)
∴V_P-ABCD=S_ABCD=×4×4×4=．(5分)
(Ⅱ)证明：连BP，∵==，∠EBA=∠BAP=90°，(7分)
∴ΔEBA∽ΔBAP，
∴∠PBA=∠BEA，(8分)
∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°，
∴PB⊥AE．(10分)
又∵BC⊥面APEB，∴BC⊥AE，
∴AE⊥面PBC.
∵PG⊂面PBC，
∴AE⊥PG．(12分)

【点评】本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质及由三视图求体积，其中根据由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，高为PA为4的四锥棱及其中相关的线面关系是解答本题的关键．