设x∈R，则f（x）=coscosx与g（x）=sinsinx的大小关系（）A．f（x）＜g（x）B．f（x）≤g（x）C．f（x）＞g（x）D．f（x）≥g（x）

Question

设x∈R，则f（x）=coscosx与g（x）=sinsinx的大小关系（　　）

A．f（x）＜g（x）
B．f（x）≤g（x）
C．f（x）＞g（x）
D．f（x）≥g（x）

Answer 1

∵f（x）=coscosx，g（x）=sinsinx，
∴f（x）、g（x）都是周期函数，且最小正周期都为2π．
又f（-x）=coscos（-x）=coscosx，g（-x）=sinsin（-x）=sin（-sinx）=-sinsinx=-g（x），
∴f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，
又当x∈[-π，0]时，f（x）＞0，g（x）≤0恒成立，此时，f（x）＞g（x）．
∴只需考虑x∈[0，π]的情形．
∵sinsinx=cos（(π)/(2)-sinx），(π)/(2)-sinx和cosx同属于余弦函数的一个单调区间，（即(π)/(2)-sinx，cosx∈[0，π]），
∴只需比较(π)/(2)-sinx与cosx的大小即可．
事实上，(π)/(2)-sinx-cosx=(π)/(2)-√(2)sin（x+(π)/(4)）≥(π)/(2)-√(2)＞0，
又余弦函数在[0，π]上单调递减，
∴sinsinx＜coscosx．也即g（x）＜f（x）．
综上所述，当x∈[-π，π]时，f（x）＞g（x），又f（x）、g（x）都是以2π为周期的周期函数，
∴f（x）＞g（x），
故选：C．