在数列an中,若a1=1,m=（an,-1）,n=（an-an-1,an-1）且向量m平行向量n,n∈N+.（1）求a2,a3；（2）证明数列｛1/an｝是等差数列,（3）若bn=an×an+l求数列｛bn｝的前n项和.

Question

在数列an中,若a1=1,m=（an,-1）,n=（an-an-1,an-1）且向量m平行向量n,n∈N+.
（1）求a2,a3；（2）证明数列｛1/an｝是等差数列,（3）若bn=an×an+l求数列｛bn｝的前n项和.

Answer 1

(1)
向量m平行向量n
an*a(n-1)=-(an-a(n-1))
an*a(n-1)=-an+a(n-1)
a2*a1=-a2+a1
a2=-a2+1
a2=1/2
同理a3=1/3
(2)
an*a(n-1)=-an+a(n-1)
同除an*a(n-1)得
1=-1/a(n-1)+1/an
∴1/an-1/a(n-1)=1
∴｛1/an｝是等差数列
(3)
a1=1
1/a1=1
1/an=1+(n-1)*1=n
an=1/n
bn=an×a(n+1)
=1/n*1/(n+1)
=1/n-1/(n+1)
｛bn｝的前n项和
=b1+b2+b3+...+bn
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+.+1/n-1/(n+1)
=1-1/(n+1)
=n/(n+1)
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