若关于x的方程x^-x+m=0和x^-x+n=0(m,n∈R,且m≠n)的四个根组成首项为1/4的等差数列,求m+n的值.

Question

若关于x的方程x^-x+m=0 和x^-x+n=0(m,n∈R,且m≠n)
的四个根组成首项为1/4 的等差数列,求m+n的值.

Answer 1

设方程x²-x+m=0两根分别为x1,x4；方程x²-x+n=0两根分别为x2,x3.
由韦达定理得
x1+x4=1 x2+x3=1
x1+x4=x2+x3
x1、x2、x3、x4成等差数列,设公差为d.
又首项为1/4,x1=1/4
所以x4=1-x1=1-1/4=3/4
x4-x1=3d=3/4-1/4=1/2
d=1/6
x2=x1+d=1/4+1/6=5/12,x3=x1+2d=1/4+1/3=7/12
m=x1x4=(1/4)*(3/4)=3/16,n=x2x3=(5/12)*(7/12)=35/144
m+n=3/16+35/144=31/72