如图所示的矩形ABCD中，BC=2AB，M是AD的中点，以BM为折痕将△ABM向上折起，使得平面ABM⊥平面BCDM．（1）证明：AB⊥平面AMC；（2）已知AB=2，求四棱锥A-BCDM的体积．

Question

如图所示的矩形ABCD中，BC=2AB，M是AD的中点，以BM为折痕将△ABM向上折起，使得平面ABM⊥平面BCDM．
（1）证明：AB⊥平面AMC；
（2）已知AB=2，求四棱锥A-BCDM的体积．

Answer 1

（1）证明：设AB=a，BC=2a，由题意BM=CM=√(2)a；
则BM²+CM²=BC²，即BM⊥CM．
而平面ABM⊥平面BCDM，BM是平面ABM与平面BCDM的交线，
∴CM⊥平面ABM，AB⊆平面ABM
∴CM⊥AB，
∴CM⊥AB，又∵AB⊥AM
∴AB⊥平面AMC．
（2）在△BCM中，AB=AM=2，O为BM的中点
∴AO⊥BM，
平面ABM⊥平面BCDM，AO⊥平面BCDM，AO=√(2)，
在梯形BCDM中，DM=CD=2，BC=4，S=(1)/(2)•6•2＝6
V_A-BCDM=(1)/(3)×S×AO=(1)/(3)×6×√(2)=2√(2)．