过点P（﹣2，﹣1）作圆C：（x﹣4）2+（y﹣2）2=9的两条切线，切点分别为A，B，（1）求直线AB的方程；（2）求在经过点A，B的所有圆中，面积最小的圆的方程．
过点P（﹣2，﹣1）作圆C：（x﹣4）2+（y﹣2）2=9的两条切线，切点分别为A，B，
（1）求直线AB的方程；
（2）求在经过点A，B的所有圆中，面积最小的圆的方程．
【考点】圆的切线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】（1）连结AC，BC，PC，记PC交AB于D，根据AB⊥CD求出直线斜率，再根据C到直线AB的距离，可得直线AB的方程；
（2）经过点A，B的所有圆中，面积最小的圆是以AB为直径的圆，进而得到答案．
【解答】（1）如图，连结AC，BC，PC，记PC交AB于D，
因为，PA，PB是圆C的切线，
所以CA⊥PA，CB⊥PB，PC⊥AB …
在Rt△PAC中，PC=
，AC=3，∴PA=6
由Rt△PAC∽Rt△ADC得，
…
由条件知，圆心C（4，2），∴
，kAB=﹣2
可设直线AB的方程为y=﹣2x+m，即2x+y﹣m=0，
∴
，∴m=7或m=13（舍去）
所以，直线AB的方程为y=﹣2x+7…
（2）在经过点A，B的所有圆中，以AB为直径的圆，其面积最小．…
直线PC的方程为x﹣2y=0，与y=﹣2x+7联立，
解得点D的坐标为
…
由（1）知，
…（13分）
∴所求圆的方程为：
…
【点评】本题考查的知识点是圆的切线方程，圆的标准方程，点到直线的距离公式，难度中档．
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