设A为n阶实对称矩阵，证明：秩（A）=n的充分必要条件为存在一个n阶实矩阵B，使AB+BTA是正定矩阵．

Question

设A为n阶实对称矩阵，证明：秩（A）=n的充分必要条件为存在一个n阶实矩阵B，使AB+B^TA是正定矩阵．

Answer 1

“必要性”（⇐）
利用反证法进行证明．
反设：r（A）＜n，则|A|=0．
于是λ=0是A的特征值，
假设相应的特征向量为x，即：Ax=0（x≠0），
所以：x^TA^T=0．
从而：x^T（AB+B^TA）x=x^TABx+x^TB^TAx=0，
与AB+B^TA是正定矩阵矛盾，故假设不成立．
所以，秩（A）=n．
“充分性”（⇒）
因为 r（A）=n，
所以A的特征值λ₁，λ₂，…，λ_n全不为0．
取矩阵B=A，则：AB+B^TA=AA+AA=2A²，
它的特征值为：2λ12，2λ22，…，2λn2全部为正，
所以AB+B^TA是正定矩阵．