在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．（Ⅰ）求证：BC⊥AD；（Ⅱ）若点D到平面ABC的距离等于3，求二面角A-BC-D的正弦值．

Question

在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．

（Ⅰ）求证：BC⊥AD；
（Ⅱ）若点D到平面ABC的距离等于3，求二面角A-BC-D的正弦值．

Answer 1

证明：（Ⅰ）取BC中点O，连接AO、DO．
因为△ABC、△BCD都是边长为4的正三角形，
所以AO⊥BC，DO⊥BC，
且AO∩DO=O．
所以BC⊥平面AOD，
又AD⊂平面AOD．
所以BC⊥AD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠AOD为二面角A-BC-D的平面角，
设∠AOD=α，则过点D作DE⊥AO，垂足为E．∵BC⊥平面ADO，且BC⊂平面ABC，
∴平面ADO⊥平面ABC，又平面ADO∩平面ABC=AO，
∴DE⊥平面ABC，
∴线段DE的长为点D到平面ABC的距离，即DE=3．
又DO＝(√(3))/(2)BD＝2√(3)，
在Rt△DEO中，sinα＝(DE)/(DO)＝(√(3))/(2)，
故二面角A-BC-D的正弦值为(√(3))/(2)．