如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道，外圆ABCD的内表面光滑，内圆A′B′C′D′的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑．一质量m=0.1kg的小球从轨道的最低点A

Question

如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道，外圆ABCD的内表面光滑，内圆A′B′C′D′的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑．一质量m=0.1kg的小球从轨道的最低点A，以初速度v₀向右运动，球的尺寸略小于两圆间距，球运动的半径R=0.2m，取g=10m/s²．
（1）若要使小球始终紧贴外圆做完整的圆周运动，初速度v₀至少为多少？
（2）若v₀=3m/s，经过一段时间小球到达最高点，内轨道对小球的支持力N=1N，则小球在这段时间内克服摩擦力做的功是多少？
（3）若v₀=3m/s，经过足够长的时间后，小球经过最低点A时受到的支持力为多少？小球在整个运动过程中减少的机械能是多少？

Answer 1

（1）设此情形下小球到达最高点的最小速度为v_C，则有：
mg＝(mv2c)/(R)      (1)/(2)m

v

2 0

＝(1)/(2)m

v

2 c

+2mgR
代入数据，解得：v₀=√(10)m/s  
（2）设此时小球到达最高点的速度为v_c′，克服摩擦力做的功为W，则：
mg−N＝(mvc′2)/(R)     −2mgR−W＝(1)/(2)mv

′

2 c

−(1)/(2)m

v

2 0

代入数据，解得：W=0.05J 
（3）经足够长时间后，小球在下半圆轨道内做往复运动，设小球经过最低点的速度为v_A，受到的支持力为N_A，则有：
mgR＝(1)/(2)m

v

2 A

       NA−mg＝(mv2A)/(R)
代入数据，解得：N_A=3N  
设小球在整个运动过程中减少的机械能为△E，由功能关系有
△E＝(1)/(2)m

v

2 0

−mgR   
代入数据，解得：△E=0.25J
答：（1）要使小球始终紧贴外圆做完整的圆周运动，初速度v₀至少√(10)m/s．
（2）小球在这段时间内克服摩擦力做的功是0.05J．
（3）小球经过最低点A时受到的支持力为3N，小球在整个运动过程中减少的机械能是0.25J．