已知椭圆(常数m，n∈R+，且m＞n)的左、右焦点分别为F1，F2，M，N为短轴的两个端点，且四边形F1MF2N是边长为2的正方形，(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)过原点且斜率分别为k和-k(k≥2)的两条

Question

已知椭圆 (常数m，n∈R ⁺ ，且m＞n)的左、右焦点分别为F ₁ ，F ₂ ，M，N为短轴的两个端点，且四边形F ₁ MF ₂ N是边长为2的正方形，
(Ⅰ)求椭圆方程；
(Ⅱ)过原点且斜率分别为k和-k(k≥2)的两条直线与椭圆 的交点为A，B，C，D(按逆时针顺序排列，且点A位于第一象限内)，求四边形ABCD的面积S的最大值。

Answer 1

已知椭圆 (常数m，n∈R ⁺ ，且m＞n)的左、右焦点分别为F ₁ ，F ₂ ，M，N为短轴的两个端点，且四边形F ₁ MF ₂ N是边长为2的正方形，
(Ⅰ)求椭圆方程；
(Ⅱ)过原点且斜率分别为k和-k(k≥2)的两条直线与椭圆 的交点为A，B，C，D(按逆时针顺序排列，且点A位于第一象限内)，求四边形ABCD的面积S的最大值。

(Ⅰ)依题意 ，∴ ，
所求椭圆方程为 ；
(Ⅱ)设A(x，y)，
由 得 ，
根据题设直线图象与椭圆的对称性，
知 ，
，
设 ，则M′(k)= ，
当k≥2时，M′（k）= ＞0，
∴M(k)在k∈[2，+∞）时单调递增，
∴ ，
∴当k≥2时， 。