（2014•宝鸡二模）函数f（x）在定义域内可导，若满足对任意x∈A（其中A为定义域的子集），都有f（x）＞0，f′（x）＞0，则称区间A为f（x）的一个“保号”区间（或称f（x）在区间A内具备

Question

（2014•宝鸡二模）函数f（x）在定义域内可导，若满足对任意x∈A（其中A为定义域的子集），都有f（x）＞0，f′（x）＞0，则称区间A为f（x）的一个“保号”区间（或称f（x）在区间A内具备“保号”性质）．
（1）若函数f（x）在（0，+∞）内具备“保号”性质，当a＞0时，讨论函数F（x）=e^axf（x）在（0，+∞）内的单调性；
（2）求函数f（x）=e^x-ln（x+1）+2的最大“保号”区间；
（3）当函数f（x）在（0，+∞）内不具备“保号”性质，且f（x）＞0，f（x）+f′（x）＜0，在（0，1）内讨论xf（x）与(1)/(x)f（(1)/(x)）的大小，并说明理由．

Answer 1

（1）∵函数f（x）在（0，+∞）内具备“保号”性质，
∴在（0，+∞）有f（x）＞0，f′（x）＞0，
又a＞0，
∴F′（x）=ae^axf（x）+e^axf′（x）＞0，
∴F（x）=e^axf（x）在（0，+∞）内是增函数．
（2）f（x）定义域为（-1，+∞），
f′(x)＝ex−(1)/(x+1)＝(ex(x+1)−1)/(x+1)．
显见，当x＞0时，f′（x）＞0；
当x=0时，f′（x）=0；
当-1＜x＜0时，f′(x)＝ex−(1)/(x+1)为增函数，f′（x）＜0．
又f（0）=3，由上f（x）在（0，+∞）内是增函数，
故在（0，+∞）有f（x）＞0
综上，所求f（x）最大“保号”区间为（0，+∞）．
（3）结论：xf（x）＞(1)/(x)f((1)/(x))．证明如下：
当o＜x＜1时，(1)/(x)＞x，
由（1）的结论：F（x）=e^xf（x）在（0，+∞）内是减函数
∴exf(x)＞e(1)/(x)f((1)/(x))．
即：f(x)＞e(1)/(x)−xf((1)/(x))，
设h(x)＝(1)/(x)−x+2lnx(0＜x＜1)，
则h′(x)＝−(1)/(x2)−1+(2)/(x)＝−((x−1)2)/(x2)＜0，
∴h（x）在（0，1）递减，
故h（x）＞h（1）=0，即(1)/(x)−x＞−2lnx．
则e(1)/(x)−x＞(1)/(x2)，
∴f（x）＞e(1)/(x)−xf((1)/(x))＞(1)/(x2)f((1)/(x))
即f(x)＞(1)/(x2)f((1)/(x))，
∴xf（x）＞(1)/(x)f((1)/(x))．