求数列{（2n-1）5的n次方}的前n项和

Question

求数列{（2n-1）5的n次方}的前n项和

Answer 1

求数列{(2n-1)×5ⁿ}的前n项和
a‹n›=(2n-1)×5ⁿ
S‹n›=1×5¹+3×5²+5×5³+7×5⁴+.+(2n-1)×5ⁿ.(1)
5S‹n›=1×5²+3×5³+5×5⁴+.+(2n-3)×5ⁿ+(2n-1)×5^(n+1).(2)
(1)-(2)(错项相减)得：
-4S‹n›=1×5¹+2×5²+2×5³+2×5⁴+.+2×5ⁿ-(2n-1)×5^(n+1)
=5+2(5²+5³+⁴+.+5ⁿ)-(2n-1)×5^(n+1)
=-5+2(5¹+5²+5³+⁴+.+5ⁿ)-(2n-1)×5^(n+1)
=-5+2[5(5ⁿ-1)/4]-(2n-1)×5^(n+1)
=(-15/2)+[(3/2)-2n]×5^(n+1)
∴S‹n›=(-1/4){(-15/2)+[(3/2)-2n]×5^(n+1)}=[(n/2)-(3/8)]×5^(n+1)+(15/8)