已知双曲线x^2/4-y^2/5=1,F为右焦点,A点坐标为(4,1),点P为双曲线上一点,求PA+2/3PF的最小值

Question

已知双曲线x^2/4-y^2/5=1,F为右焦点,A点坐标为(4,1),点P为双曲线上一点,求PA+2/3PF的最小值

Answer 1

a^2=4 ,b^2=5 ,因此 c^2=a^2+b^2=9 ,
因此 F（3,0）,e=c/a=3/2 ,
双曲线右准线为 L：x=a^2/c=4/3 ,
过 P 作直线 PP1丄L ,垂足为 P1 ,
由双曲线的定义,PF/PP1=e=3/2 ,
所以 PA+2/3*PF=PA+PP1>=AP1=4-4/3=8/3 ,
因此,当 P、A 连线平行于双曲线的实轴时,所求值最小,为 8/3 .