在△ABC中，BD为∠ABC的平分线．（1）如图1，∠C=2∠DBC，∠A=60°，求证：△ABC为等边三角形；（2）如图2，若∠A=2∠C，BC=8，AB=4.8，求AD的长度；（3）如图3，若∠ABC=2∠ACB，∠ACB的平分线OC与BD

Question

在△ABC中，BD为∠ABC的平分线．

（1）如图1，∠C=2∠DBC，∠A=60°，求证：△ABC为等边三角形；
（2）如图2，若∠A=2∠C，BC=8，AB=4.8，求AD的长度；
（3）如图3，若∠ABC=2∠ACB，∠ACB的平分线OC与BD相交于点O，且OC=AB，求∠A的度数．

Answer 1

（1）∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABC=2∠DBC
∵∠C=2∠DBC，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
∵∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）如图2，截取BE=AB，连接DE，

在△ABD与△EBD中，

AB=BE

∠ABD=∠EBD

BD=BD

，
∴△ABD≌△EBD，
∴∠A=∠DEB，AD=ED，
∵∠A=2∠C，
∴∠DEB=2∠C，
∵∠DEB=∠C=∠EDB，
∴∠C+∠EDB=2∠C，
∴∠C=∠EDB，
∴ED=EC，
∵AB=4.8，
∴CE=BC-BE=3.2，
∴AD=DE=CE=3.2；
（3）如图3，过B作BF平分∠DBC交AC于F，

∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=(1)/(2)∠ABC，
即∠ABC=2∠ABD=2∠CBD，
∵∠ABC=2∠ACB，
∴∠ACB=∠ABD=∠CBD，
∵OC平分∠ACB，BF平分∠DBC，
∴∠1=∠3=(1)/(2)∠DBC，∠4=∠2=(1)/(2)∠ACB，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
在△OBC与△FCB中，

∠DBC=∠ACB

BC=CB

∠2=∠1

，
∴△OBC≌△FCB，
∴OC=BF，
∵AB=OC，
∴BF=AB，
∵∠ABF=∠ABD+∠3，∠AFB=∠ACB+∠1，
∵∠ABD=∠ACB，∠1=∠3，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
∴AB=BF=AF，
∴△ABF为等边三角形，
∴∠A=60°．