证明：含参变量的无穷积分I（y）=∫+∞1sinx1+xeydx在[0，+∞）上一致收敛．

Question

证明：含参变量的无穷积分I（y）=

∫

+∞ 1

(sinx)/(1+xey)dx在[0，+∞）上一致收敛．

Answer 1

当x≥1时，(sinx)/(1+xey)=(sinx)/(x)•(1)/((1)/(x)+ey)．
对于(sinx)/(x)，
因为∀A≥1，|

∫

A 0

sinxdx|＝|cosA−1|≤2，
又因为(1)/(x)在[1，+∞）上单调且

lim

x→+∞

(1)/(x)=0，
故由狄利克莱判别法可得，

∫

+∞ 1

(sinx)/(x)dx收敛．①
对于(1)/((1)/(x)+ey)，
任意取定y∈[0，+∞），
则(1)/((1)/(x)+ey)关于x单调．②
综合①、②，由阿贝尔判别法可得，
含参变量的无穷积分I（y）在[0，+∞）上一致收敛．