设二维随机变量（X,Y）在单位圆内服从均匀分布,试问X,Y是否独立

Question

设二维随机变量（X,Y）在单位圆内服从均匀分布,试问X,Y是否独立

Answer 1

由题意知:X^2+Y^2=1,所以可设:X=cosθ,Y=sinθ,θ为[-π,π]上均匀分布的随机变量.E(X)=(1/2π)∫(-π→π)cosθdθ=0； E(Y)=(1/2π)∫(-π→π)sinθdθ=0； E(X^2)=(1/2π)∫(-π→π)(cosθ)^2dθ=1/2； E(Y^2)=(1/2π)∫(-π→π)(sinθ)^2dθ=1/2； D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=1/2； D(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2=1/2； E(XY)=(1/2π)∫(-π→π)cosθsinθdθ=0； 协方差Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0； 所以,相关系数ρXY=Cov(X,Y)/[(√D(X))(√D(Y))]=0；所以X、Y不相关； 另外,显然有P{0＜X＜1/2}≠0,P{0＜Y＜1/2}≠0,所以:P{0＜X＜1/2}P{0＜Y＜1/2}≠0,但是,0＜X＜1/2和0＜Y＜1/2同时发生的概率为零,即:P{0＜X＜1/2,0＜Y＜1/2}=0,所以P{0＜X＜1/2,0＜Y＜1/2}≠P{0＜X＜1/2}P{0＜Y＜1/2},所以X、Y不独立.