已知函数f(x)＝2lnx+12ax2−(2a+1)x(a∈R)．（Ⅰ）当a＝−12时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若a＞0，讨论f（x）的单调性．

Question

已知函数 f(x)＝2lnx+(1)/(2)ax2−(2a+1)x (a∈R)．
（Ⅰ）当a＝−(1)/(2)时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若a＞0，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）的定义域为{x|x＞0}，…．（1分）
当a=-(1)/(2)时，f′（x）=-((x+2)(x−2))/(2x)，…．（2分）
令f′（x）=0，在[1，e]上得极值点x=2，

x	[1，2）	2	（2，e]
f′（x）	+	0	-
f（x）	增	2ln2-1	减

…．（4分）
∵f（1）=-(1)/(4)，f（e）=2-(e2)/(4)，…．（5分）
f（1）＜f（e），
∴f（x）_max=f（2）=2ln2-1，f（x）_min=f（1）=-(1)/(4)．…．（7分）
（Ⅱ）f′（x）=((x−2)(ax−1))/(x)，…．（8分）
①0＜a＜(1)/(2)时，由f′（x）＞0得0＜x＜2或x＞(1)/(a)，
所以f（x）的单调增区间是（0，2），（(1)/(a)，+∞），
由f′（x）＜0得2＜x＜(1)/(a)，
所以f（x）的单调减区间是（2，(1)/(a)）；     …．（10分）
②a=(1)/(2)时，f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，且当且仅当f′（2）=0，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增；                         …．（11分）
③当a＞(1)/(2)时，由f′（x）＞0得0＜x＜(1)/(a)或x＞2，
所以f（x）的单调增区间是（0，(1)/(a)），（2，+∞），
由f′（x）＜0得(1)/(a)＜x＜2，
所以f（x）的单调减区间是（(1)/(a)，2）．…．（13分）