如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2，E是PB的中点．（1）求三棱锥P-ABC的体积；（2）求异面直线EC和AD所成的角（结果用反三角函数值表示）．

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2，E是PB的中点．

（1）求三棱锥P-ABC的体积；
（2）求异面直线EC和AD所成的角（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

（1）∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，
高PA=2，BC=AD=2，AB=1，
∴S_△ABC=(1)/(2)×2×1=1．
故V_P-ABC=(1)/(3)×SABC×PA=(1)/(3)×1×2＝(2)/(3)．
（2）∵BC∥AD，∴∠ECB或其补角为异面直线EC和AD所成的角θ，
又∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，又BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
于是在Rt△CEB中，BC=2，BE=(1)/(2)PB=(√(5))/(2)，
tanθ=(BE)/(BC)=(√(5))/(4)，
∴异面直线EC和AD所成的角是arctan(√(5))/(4)．