下面是例题：{“E1表示实数全体,R1表示由E1中的有限个有限区间（不论是开的、闭的、还是半开半闭的）的和集全体所成的集类,那么R1是个环”.}.对于这个问题,夏道行的书《实变函数论与泛

Question

下面是例题：{“E1表示实数全体,R1表示由E1中的有限个有限区间（不论是开的、闭的、还是半开半闭的）的和集全体所成的集类,那么R1是个环”.}.对于这个问题,夏道行的书《实变函数论与泛函分析》书中有介绍：“由有限个开区间（或闭区间）的和集全体所组成的集类并不是一个环,这是因为两个开区间的差集可以不再是开区间”.既然开区间的差集可以不再是开区间,那为什么例题中的R1还是个环呢?另外 还有个问题：既然两个开区间的差集可以不再是开区间,那为什么左开右闭区间的差集不可以是左闭右开呢?

Answer 1

因为E的范围不同,前者的E可以是任何的有限区间,而后者只能是开区间,两个开区间的差集虽然不一定是开区间,但也一定是有限个有限区间的和,例如(1,4)-(2,3)=(1,2]U[2,3),它们的差集虽然不能表示为有限个开区间的和,但是能表示为有限个有限区间的和,所以E如果限制为开区间R就不构成环,而E如果是有限区间R就构成环.另外,两个左开右闭区间的差集一定是左开右闭区间,你可以分各种情况画图看一看,每一种可能的情况它们的差集都是左开右闭的.